Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника,- это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций,- изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия-раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов. Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов и теоремой косинусов (см. Косинусов теорема). Кроме них часто применяются теорема тангенсов, открытая в XV в, немецким математиком И. Региомонтаном,

и формулы К. Мольвейде (немецкого математика конца XVIII-начала XIX в.):

Здесь через a, b, с обозначены длины сторон треугольника, а через А, В, С-соответственно величины противоположных им углов.

Помимо теоремы косинусов, углы треугольника могут быть также выражены через его стороны с помощью формул:

где р - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника помимо формулы Герона может быть выражена с помощью тригонометрии через стороны и углы треугольника еще несколькими способами:

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд», изложенную выдающимся астрономом Птоломеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемей вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов:

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции, для них были составлены таблицы. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга (рис. 1) равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в X-XI вв. Если мы понимаем под синусом угла х в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе ОС (т.е. радиусу единичной окружности), то в средние века термином «синус» обозначали саму линию синуса ВС. То же относится к косинусу, под которым понималась линия косинуса OВ, и другим тригонометрическим функциям. Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера. Существует также сферическая тригонометрия, рассматривающая соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. Она является частью сферической геометрии и возникла исторически раньше тригонометрии на плоскости из потребностей практической астрономии.